BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG MASALAH
Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang penting sebagai pengantar ilmu-ilmu pengetahuan yang lain dan banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Pengajaran matematika tidak hanya ditekankan pada kemampuan berhitung, tetapi pada konsep-konsep matematika yang berkenaan dengan idi-ide yang bersifat abstrak. Sehingga diperlukan metode atau strategi dalam menyampaikan materi matematika yang abstrak itu menjadi konkret, selanjutnya dari permasalahan yang konkret tersebut baru dialihkan kebentuk konsep-konsep matematika yang abstrak.
Untuk mengawali penyampaian materi yang abstrak melalui konkret itu dapat berpedoman pada teori belajar Dienes. Pada teori belajar Dienes, ditekankan pembentukan konsep-konsep melalui permainan yang mengarah pada pembentukan konsep yang abstrak. Teori belajar Dienes ini sangat terkait dengan teori belajar yang dikemukakan oleh Piaget, yaitu mengenai teori perkembangan intelektual. Jean Piaget berpendapat proses berpikir manusia sebagai suatu perkembangan yang bertahap dari berpikir intelektual konkret ke abstrak berurutan melalui empat periode. Urutan periode itu tetap bagi setiap orang, namun usia atau kronologis pada setiap orang yang memasuki setiap periode berpikir yang lebih tinggi berbeda-beda tergantung kepada masing-masing individu. Dengan demikian teori belajar Dienes sangatlah cocok diterapkan dalam pembelajaran matematika.
B. RUMUSAN MASALAH
Dalam menyusun makalah ini kami merumuskan beberapa masalah yang akan dibahas, yaitu :
1. Tinjauan singkat tentang teori belajar Dienes.
2. Kelebihan dan kelemahan teori belajar Dienes.
3. Aplikasi teori belajar Dienes dalam proses pembelajaran matematika.
BAB II
ISI
A. TINJAUAN SINGKAT TEORI BELAJAR DIENES
Zoltan P. Dienes adalah seorang matematikawan yang memusatkan perhatiannya pada cara-cara pengajaran terhadap siswa-siswa. Dasar teorinya bertumpu pada Piaget, dan pengembangannya diorientasikan kepada siswa-siswa, sedemikian rupa sehingga sistem yang dikembangkannya itu menarik bagi siswa yang mempelajarinya.
Dienes berpendapat bahwa pada dasarnya matematika dapat dianggap sebagai studi tentang struktur, memisahkan hubungan-hubungan di antara struktur-struktur dan mengkategorikan hubungan-hubungan di antara sruktur-struktur. Seperti halnya dengan Bruner, Dienes mengemukakan bahwa tiap-tiap konsep atau prinsip dalam matematika yang disajikan dalam bentuk yang konkret akan dapat dipahami dengan baik. Ini mengandung arti bahwa jika benda-benda atau objek-objek dalam bentuk permainan akan sangat berperan bila dimanipulasi dengan baik dalam pelajaran matematika.
Yang dimaksud Dienes dengan konsep adalah stuktur matematika yang terdiri dari 3 macam konsep, yaitu konsep murni matematika (pare matematical concepts), konsep notasi (notation concepts), konsep murni matematika berkenaan dengan mengelompokan bilangan dan hubungan antara bilangan antara bilangan tanpa mempertimbangkan bagaimana bilangan itu disajikan, sedangkan konsep terapan adalah aplikasi konsep murni dan konsep notasi dalam pemecahan soal-soal matematika dan dalam bidang studi lain yang berhubungan.
Dienes juga percaya bahwa semua abstraksi yang berdasarkan pada situasi dan pengamatan konkret, prinsip penjelmaan bentuk (multiple embodiment principle) adalah suatu prinsip yang bila diterapkan oleh guru untuk setiap konsep yang diajarkan akan menyempurnakan penghayatan siswa terhadap konsep itu.
- Dengan melihat berbagai contoh siswa akan memperoleh penghayatan lebih benar. Misalnya anak-anak lebih memahami arti burung bila disajikan berbagai macam burung. Anak-anak akan bertanya-tanya apakah kasuari itu burung? Apabila sehari-hari ia hanya mengenal burung perkutut yang ada di rumahnya, tentu pertanyaan tersebut akan muncul. Begitu pula ia akan lebih baik memahami konsep segitiga bila representatif segitiga itu ditunjukkan dengan gambar segitiga bidangyang mencakup beranekaragam jenis segitiga (segitiga lancip, tumpul, siku-siku, sama kaki, sama sisi, dan sembarang) tidak hanya satu macam saja.
- Dengan banyaknya contoh ia akan lebih banyak menerapkan konsep itu kedalam situasi yang lain. Misalnya anak yang dalam belajar menentukkan luas suatu bidang akan dapat menerapkan konsep tersebut untuk mencari luas suatu lapangan.
Menurut Dienes, permainan matematika sangat penting sebab operasi matematika dalam permainan tersebut menunjukkan aturan secara konkret dan lebih membimbing dan lebih menajamkan pengertian matematika pada anak didik. Dapat dikatakan bahwa objek-objek konkret dalam bentuk permainan mempunyai peranan sangat penting dalam pembelajaran matematika jika dimanipulasi dengan baik. Menurut Dienes (dalam Ruseffendi, 1992:125-127), konsep-konsep matematika akan berhasil jika dipelajari dalam tahap-tahap tertentu, Dienes membagi tahap-tahap belajar menjadi beberapa tahap yaitu
- Permainan Bebas (Free Play)
Dalam setiap belajar, tahap yang paling awal dari pengembangan konsep berawal dari permainan bebas. Permainan bebas merupakan tahap belajar konsep yang aktifitasnya tidak berstruktur dan tidak diarahkan yang memungkinkan peserta didik mengadakan eksperimen dan memanipulasi benda-benda konkret maupun abstrak dari unsur-unsur konsep yang dipelajari itu. Tahap ini merupakan tahap yang penting sebab pengalaman yang pertama bagi peserta didik dalam berhadapan dengan konsep baru melalui interaksi dengan lingkungan yang mengandung representatif konkret dari konsep itu. Anak didik diberi kebebasan untuk mengatur benda. Selama permainan pengetahuan anak muncul. Dalam tahap ini anak mulai membentuk struktur mental dan struktur sikap dalam mempersiapkan diri untuk memahami konsep yang sedang dipelajari.
- Permainan yang Menggunakan Aturan (Games)
Tahap ini merupakan tahap belajar konsep setelah didalam periode tertentu permainan bebas terlaksana. Dalam permainan yang disertai aturan, siswa sudah mulai meneliti pola-pola keteraturan yang terdapat dalam konsep tertentu. Anak didik mulai memperhatikan aturan-aturan tertentu yang terdapat dalam konsep (peristiwa-peristiwa) yang ada kalanya aturan-aturan itu berlaku untuk suatu konsep, namun tidak berlaku untuk konsep lain. Setelah anak didik itu mendapatkan aturan-aturan yang ditentukkan dalam konsep itu, anak didik siap untuk memainkan permainan itu. Mereka juga mengubah aturan-aturan yang dibuat pengajar dan membuat permainan sendiri. Dengan bermain anak didik mulai menganalisis struktur matematika. Menurut Dienes, untuk membuat konsep abstrak, anak didik memerlukan suatu kegiatan untuk mengumpulkan bermacam-macam pengalaman, dan kegiatan untuk yang tidak relevan dengan pengalaman itu.
- Permainan Kesamaan Sifat (Searching for communalities)
Tahap ini berlangsung setelah memainkan permainan yang disertai aturan yang telah disebutkan tadi. Dalam melaksanakan permainan tahap kedua tadi (permainan yang menggunakan aturan), mungkin anak didik belum menemukan struktur yang menunjukkan sifat-sifat kesamaan yang terdapat didalam permainan-permainan yang dimainkan itu. Dalam mencari kesamaan sifat siswa mulai diarahkan dalam kegiatan menemukan sifat-sifat kesamaan dalam permainan yang sedang diikuti. Untuk melatih dalam mencari kesamaan sifat-sifat ini, guru perlu mengarahkan mereka dengan menstraslasikan kesamaan struktur dari bentuk permainan lain. Translasi ini tentu tidak boleh mengubah sifat-sifat abstrak yang ada dalam permainan semula.
- Permainan Representasi (Representation)
Representasi adalah tahap pengambilan sifat dari beberapa situasi yang sejenis.
- Permainan dengan simbolisasi (symboloization)
Simbolisasi termasuk tahap belajar konsep yang membutuhkan kemampuan merumuskan representasi dari setiap konsep-konsep dengan menggunakan simbol matematika atau melalui perumusan verbal. Kalau perlu, pengajar dapat mengarahkan anak didiknya dalam memilih simbol yang cocok. Misalnya dari suatu permainan dapat dinyatakan (secara verbal) bahwa hasil kali dua bilangan negatif adalah bilangan positif.
- Formalisasi (Formalization)
Formalisasi merupakan tahap belajar konsep yang terakhir. Dalam tahap ini siswa-siswa dituntut untuk mengurutkan sifat-sifat konsep dan kemudian merumuskan sifat-sifat baru konsep tersebut, sebagai contoh siswa yang telah mengenal dasar-dasar dalam struktur matematika seperti aksioma, harus mampu merumuskan teorema dalam arti membuktikan teorema tersebut.
Dienes (dalam Resnick, 1981: 120) menyatakan bahwa proses pemahaman (abstraction) berlangsung selama belajar. Untuk pengajaran konsep matematika yang lebih sulit perlu dikembangkan materi matematika secara konkret agar konsep matematika dapat dipahami dengan tepat. Dienes berpendapat bahwa materi harus dinyatakan dalam berbagai penyajian (multiple embodiment), sehingga anak-anak dapat bermain dengan bermacam-macam material yang dapat mengembangkan minat anak didik. Berbagai macam penyajian materi (multiple embodiment) dapat mempermudah proses pengklasifikasian abstraksi konsep.
Menurut Dienes, variasi sajian hendaknya tampak berbeda antara satu dan lainnya sesuai dengan prinsip variabilitas perseptual (perseptual variability), sehingga anak didik dapat melihat struktur dari bebagai pandangan yang berbeda-beda dan memperkaya imajinasinya terhadap setiap konsep matematika yang disajikan. Dengan demikian, semakin banyak bentuk-bentuk berlainan yang diberikan dalam konsep tertentu, semakin jelas bagi anak dalam memahami konsep tersebut.
Langkah selanjutnya, menurut Dienes, adalah memotivasi anak didik untuk mengabstraksikan pelajaran tanda material konkret dengan gambar yang sederhana, grafik, peta dan akhirnya memadukan simbol-simbol dengan konsep tersebut. Langkah-langkah ini merupakan suatu cara untuk memberi kesempatan kepada anak didik ikut berpartisipasi dalam proses penemuan dan formalisasi melalui percobaan matematika. Anak didik pada masa ini bermain dengan simbol dan aturan dengan bentuk-bentuk konkret dan mereka memanipulasi untuk mengatur serta mengelompokkan aturan-aturan. Masa ini anak didik menggunakan simbol-simbol sebagai objek manipulasi dan mengarah kepada struktur pemikiran-pemikiran matematika yang lebih tinggi. Anak harus mampu mengubah fase manipulasi konkret, agar pada suatu waktu simbol tetap terkait dengan pengalaman konkretnya.
Kelebihan teori belajar Dienes
v Dengan menggunakan benda-benda konkret, siswa dapat lebih memahamikonsep dengan benar.
v Susunan belajar akan lebih hidup, menyenangkan, dan tidak membosankan.
v Dominasi guru berkurang dan siswa lebih aktif.
v Konsep yang lebih dipahami dapat lebih mengakar karena siswa membuktikannya sendiri.
v Dengan banyaknya contoh dengan melakukan permainan siswa dapat menerapkan kedalam situasi yang lain.
Kelemahan teori belajar Dienes
v Tidak semua materi dapat menggunakan teori belajar Dienes, karena teori ini lebih mengarah kepermainan.
v Tidak semua siswa memiliki kemampuan yang sama.
v Bila pengajar tidak memiliki kemampuan mengarahkan siswa maka siswa cenderung hanya bermain tanpa berusaha memahami konsep.
RPP ( Rencana Pelaksanaan Pembelajaran )
Mata Pelajaran : Matematika
Kelas / Semester : XI / 1
Pokok Bahasan : Permutasi
Alokasi Waktu : 20 menit
I. Standar Kompetensi
Menggunakan aturan statistika, kaidah pemecahan, dan sifat-sifat peluang dalam pemecahan masalah.
II. Kompetensi Dasar
Menggunakan aturan perkalian, permutasi, dan kombinasi dalam pemecahan masalah.
III. Indikator
Menggunakan aturan permutasi.
IV. Langkah-langkah pembelajaran:
a. Kegiatan Awal:
1. Memberikan salam.
2. Mengabsen siswa.
3. Apersepsi/revisi, yaitu mengingatkan dan memperbaiki kemampuan bekal siswa mengenai pelajaran terdahulu yang berkaitan dengan peajaran yang akan disampaikan.
4. Memberikan uraian singkat yang dapat membangkitkan motivasi siswa
5. Penjelasan tujuan pembelajaran dan sistematika bahan.
b. Kegiatan inti:
1. Guru memberikan penjelasan mengenai permutasi.
2. Guru menunjuk beberapa siswa untuk maju ke depan sebagai contoh penggunaan permutasi.
3. Guru menyuruh siswa untuk memperagakan susunan berbaris yang berbeda sebagai contoh permutasi.
4. Guru memberikan latihan soal kepada siswa.
c. Kegiatan Akhir:
1. Memberikan penugasan individu pada siswa (pekerjaan rumah)
2. Mengakhiri pelajaran dengan salam.
URAIAN MATERI
A. PENGERTIAN PERMUTASI
Pemutasi adalah susunan yang berbeda yang dapat dibentuk dari n unsur , yang diambil dari unsur atau sebagian unsur.
B. MACAM-MACAM PERMUTASI
1. Permutasi dengan unsur yang beda
Jika ada n unsur yang berbeda diambil n unsur, maka banyak susunan (permutasi) yang berbeda dari n unsur tersebut adalah sebanyak P(n,n) = n
Teorema
P(n,n) = nPn dibaca permutasi tingkat n dari n unsur
P(n,n) = n!
Bukti:
| Tempat ke- | ||||||||||||
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … | n-2 | n-1 | n | ||||
| Diisi dengan | n-1 | n-2 | n-3 | n-4 | … | 3 | 2 | cara | ||||
Tempat pertama diisi dengan n cara karena ada n unsur. Tempat ke-2 diisi dengan (n-1) cara karena sebuah unsur telah diisi pada tempat pertama. Tempat ke-3 diisi dengan (n-2) cara dan seterusnya sampai ke-(n-1) diisi dengan 2 cara dan tempat ke-n (terakhir) diisi dengan 1 cara. Secara keseluruhan banyak cara untuk membuat susunan (permutasi) yang berbeda adalah:
n(n – 1)(n – 2)(n – 3) … 3 . 2 . 1 = n!
Contoh:
Tentukan banyak permutasi jika tiga buah unsur {A, B, C} dipermutasikan tiga-tiga tiap kelompok.
Jawab:
n = 3 banyaknya permutasi adalah P(3,3) = 3! = 3 . 2 . 1 = 6 yaitu:
ABC B C ACB B A C
B
C
Berapa banyak kendaraan yang dapat diberikan nomor polisi yang menggunakan lambang bilangan 1, 2, 3, dan 4 tanpa ada lambang yang berulang di mana tiap nomor terdiri dari 4 angka.
Jawab:
n = 4 yaitu {1, 2, 3, 4}
P(4, 4) = 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
Jadi, ada 24 kendaraan.
Banyak permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah:
Teorema
untuk r < n
P(n,r) dibaca permutasi tingkat r dari n.
Bukti:
Misalkan ada n unsur akan diambil r unsur untuk ditempatkan pada r tempat
| Tempat ke- | Karena ada n unsur | ||
| 1 2 3 4 . . . r – 2 r – 1 r |
n – 1 n – 2 n – 3 . . . n – (r – 3) = n – r + 3 n – (r – 2) = n – r + 2 n – (r – 1) = n – r + 1 |
Banyaknya cara untuk mengisi semua tempat tersebut adalah:
Jadi, 
**Permutasi nPr untuk r <>disebut juga variasi V(n,r)
Contoh:
1. Dengan berapa cara seorang programer akan membuat password dengan menggunakan huruf dari himpunan huruf {A, B, C, D, E, F, G, H}, jika satu huruf hanya digunakan sekali?
Jawab:
Banyaknya huruf yang tersedia adalah 8 dan hanya diunakan 4 huruf, maka n = 8 dan r = 4
Sehingga 8P4 =
= 8.7.6.5
= 1680
2. Tentukan permutasi (variasi) dua-dua dari tiga buah unsur {a, b, c}
Jawab:
n = 3 dan r = 2 maka P(3,2) = 
susunannya dapat ditunjukkan dengan diagran pohon berikut ini.
2. Permutasi dengan beberapa elemen yang sama
Misalkan terdapat 7 bendera, terdiri dari 4 bendera berwarna selain putih dan 3 bendera putih. Bendera-bendera tersebut akan dipasang di salah satu sisi pintu gerbang suatu kantor. Meskipun terdapat 7 bendera yang dua atau lebih bendera di antaranya berwarna sama, tetapi kita tidak dapat membedakan pisisi yang satu gengan posisi yang lain. Kitan mengetahui bahwa bendera-bendera tersebut dapat disusun dengan 7! Permutasi, namun dengan adanya bendera yang berwarna sama, kita tidak dapat membedakan permutasi tersebut secara utuh.
Di bawah ini akan dibahas cara mencari banyak permutasi dengan beberapa elemen yang sama.
Misalkan terdapat n obyek dengan n1 jenis pertama, n2 jenis kedua…dan nk jenis ke k. dengan adanya n obyek maka terdapat n! permutasi, jika P adalah banyaknya permutasi yang berbeda, jenisd pertama mempunyai n1! Dan seterusnya, maka dengan akidah pencacahan, diperoleh permutasi berikut ini:
P. n1! . n2!.......nk!
Karena banyak unsur ada n obyek maka:
Sehingga:
Contoh:
Berapa banyak permutasi dari dari huruf-huruf pada kata LITERATUR?
Jawab:
Elemen-elemen yang sama meliputi R dan T masing-masing dua buah dan banyak huruf ada 9 buah maka:
3. Permutasi Siklis
Misalkan kita akan menyusun 4 huruf A,B,C, dan D secara melingkar, seperti pada gambar di bawah ini.
DA B
C
Dengan catatan bahwa ABCD, BCDA, CDAB, dan DABC tidak dibedakan, jadi dalam hal ini sebuah huruf akan selalu menempati jalan lingkaran tersebut. Dengan kaidah pencacahan, kita dapat menyajikan dengan diagram berikut.
1 3 2 1
x x x = 3! atau (4 – 1)!
Secara umum banyaknya permutasi siklis dari n obyek adalah (n – 1)!
Contoh:
Dengan berapa cara 9 kue yang berbeda dapat disusun melingkar di atas sebuah meja?
Jawab:
P = (9 – 1)!
= 8!
= 8.7.6.5.4.3.2.1
= 40320
BAB III
PENUTUP
A. SIMPULAN
Setelah memaparkan tinjauan singkat tentang teori belajar Dienes yang telah dipaparkan dalam bagian sebelumnya, dapat disimpulkan beberapa hal sebagai berikut :
1. Teori belajar Dienes menekankan pada manipulasi benda-benda konkret yang diterapkan dalam bentuk permainan.
2. Tahap-tahap pengajaran konsep matematika menurut Dienes, yaitu :
a. Permainan Bebas (Free Play)
b. Permainan yang Menggunakan Aturan (Games)
c. Permainan Kesamaan Sifat (Searching for communalities)
d. Permainan Representasi (Representation)
e. Permainan dengan simbolisasi (symboloization)
f. Formalisasi (Formalization)
3. Kelebihan teori belajar Dienes
v Dengan menggunakan benda-benda konkret, siswa dapat lebih memahamikonsep dengan benar.
v Susunan belajar akan lebih hidup, menyenangkan, dan tidak membosankan.
v Dominasi guru berkurang dan siswa lebih aktif.
v Konsep yang lebih dipahami dapat lebih mengakar karena siswa membuktikannya sendiri.
v Dengan banyaknya contoh dengan melakukan permainan siswa dapat menerapkan kedalam situasi yang lain.
4. Kelemahan teori belajar Dienes
v Tidak semua materi dapat menggunakan teori belajar Dienes, karena teori ini lebih mengarah kepermainan.
v Tidak semua siswa memiliki kemampuan yang sama.
v Bila pengajar tidak memiliki kemampuan mengarahkan siswa maka siswa cenderung hanya bermain tanpa berusaha memahami konsep.
B. SARAN
Setelah mempelajari dan mengetahui tentang teori belajar Dienes, sebaiknya guru harus bisa menyesuaikan pengajaran dengan materi yang sesuai. Karena tidak setiap materi yang ada dapat disampaikan dengan teori belajar Dienes (permainan). Hal ini bertujuan supaya proses pembelajaran dapat berlangsung dengan efektif.
DAFTAR PUSTAKA
Tampomas, Husain.1999. Seribu Pena Matematika SMU. Erlangga:
R. Johnsonbaugh, Matematika Diskrit Jilid 1, Prenhallindo, 1998.
Sucipto,Endar.1999.Buku Pelajaran Matematika untuk SMU. Erlangga:
www.google .com
http://elearning.unej.ac.id/cources/MPK004/document/Bab1.pdf?cidReq=MPK004.
MAKALAH
DASAR-DASAR PROSES PEMBELAJARAN MATEMATIKA
“TEORI BELAJAR DIENES”
Disusun oleh :
Kelas 4J
Kelompok 6
Anggota :
1. Basuki (06310408 )
2. Tanti Pratiwi H (06310475)
3. M. Afnan (06310 )
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
IKIP PGRI
2008
